神经网络的公式基本上就是前向后向更新。这里讲LSTM的后向推导。 说是推导，基本上没有一个公式。注重理解。
1 反向传播
cs231上有一篇关于非常好的文章, 讲得非常好。 一个例子： \(f(x,y) = \frac{x + \sigma(y)}{\sigma(x) + (x+y)^2}\)
x = 3 # example values
y = -4
# forward pass
sigy = 1.0 / (1 + math.exp(-y)) # sigmoid in numerator #(1)
num = x + sigy # numerator #(2)
sigx = 1.0 / (1 + math.exp(-x)) # sigmoid in denominator #(3)
xpy = x + y #(4)
xpysqr = xpy**2 #(5)
den = sigx + xpysqr # denominator #(6)
invden = 1.0 / den #(7)
f = num * invden # done! #(8)
对应的后向传播为：
# backprop f = num * invden
dnum = invden # gradient on numerator #(8)
dinvden = num #(8)
# backprop invden = 1.0 / den
dden = (-1.0 / (den**2)) * dinvden #(7)
# backprop den = sigx + xpysqr
dsigx = (1) * dden #(6)
dxpysqr = (1) * dden #(6)
# backprop xpysqr = xpy**2
dxpy = (2 * xpy) * dxpysqr #(5)
# backprop xpy = x + y
dx = (1) * dxpy #(4)
dy = (1) * dxpy #(4)
# backprop sigx = 1.0 / (1 + math.exp(-x))
dx += ((1 - sigx) * sigx) * dsigx # Notice += !! See notes below #(3)
# backprop num = x + sigy
dx += (1) * dnum #(2)
dsigy = (1) * dnum #(2)
# backprop sigy = 1.0 / (1 + math.exp(-y))
dy += ((1 - sigy) * sigy) * dsigy #(1)
# done! phew
2 lstm
2.1 公式
关于lstm，有个非常好的博客。
前向更新公式为：
2.2 代码
依照上文的后向传播的推导方式，可以得到，
前向更新，请见代码中#sooda注释部分：
后向更新：
注意点:
- 通过观察公式1到4， 发现所有的乘机因子为x、h，互相没有依赖，可以并行化。利用向量化进行加速
- IFOG指的是Input，Forget， Output， Cell Gate的计算值。IFOGf是IFOG经过激活函数后的激活值. 并以此为顺序。o-d表示input gate， d-2d表示forget gate， 2d-3d表示output gate， 3d-end 表示cell gate
- WLSTM保存的实际上是所有这些门相对于输入+隐藏层+偏置的权值。
- 后向传播从最后一个进行求偏导， 即按照从后向前，按部就班即可，不需要跨步骤考虑
- cache是为了保存后向传播所需要的值
本文代码可以参考gist